절댓값 조건과 원의 최댓값

$| x + y | + | x - y | = 1$의 그래프를 그려 보자. (ⅰ) $x + y \geq 0$, $x - y \geq 0$일 때, $x + y + x - y = 1$ $\displaystyle \therefore x = \frac{1}{2}$ (ⅱ) $x + y \geq 0$, $x - y < 0$일 때, $x + y - x + y = 1$ $\displaystyle \therefore y = \frac{1}{2}$ (ⅲ) $x + y < 0$, $x - y \geq 0$일 때, $- x - y + x - y = 1$ $\displaystyle \therefore y = - \frac{1}{2}$ (ⅳ) $x + y < 0$, $x - y < 0$일 때, $- x - y - x + y = 1$ $\displaystyle \therefore x = - \frac{1}{2}$ 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다.

$x ^{2} - 6 x + y ^{2} - 6 y = k$라 하면 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 18 + k$ …… ㉠ ㉠은 중심이 점 $( 3 , 3 )$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{18 + k}$인 원이고, 이 원이 다음 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm{A} \left( - \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} \right)$을 지날 때 반지름의 길이가 최대가 된다.

$\displaystyle x = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle y = - \frac{1}{2}$을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} - 3 \right) ^{2} + \left( - \frac{1}{2} - 3 \right) ^{2} = 18 + k$ $\displaystyle \frac{49}{4} + \frac{49}{4} - 18 = k$ $\displaystyle \therefore k = \frac{49}{2} - \frac{36}{2} = \frac{13}{2}$