절댓값 함수 합성 보기

[출제의도] 함수의 합성을 이용하여 추론하기 ㄱ. $f ( f ( 1 ) ) = f ( 2 ) = 0$ (참) ㄴ. 그림과 같이 방정식 $f ( x ) = x$의 실근의 개수는 함수 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = x$의 교점의 개수와 같다. 따라서 방정식 $f ( x ) = x$의 실근의 개수는 $2$이다.(참)

ㄷ. 방정식 $f ( f ( x ) ) = f ( x )$에서 $f \left( x \right) = t$로 치환하고 방정식 $f \left( t \right) = t$를 만족하는 해를 구해보면 $\left| 2 t - 4 \right| = t$에서 $\displaystyle t = \frac{4}{3}$ 또는 $t = 4$이다. 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{4}{3}$ 또는 $f \left( x \right) = 4$를 만족하는 $x$의 값을 구하면 된다. ⅰ) $\displaystyle f ( x ) = \frac{4}{3}$인 경우 $\displaystyle \left| 2 x - 4 \right| = \frac{4}{3}$에서 $\displaystyle x = \frac{4}{3}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{8}{3}$이다. ⅱ) $f ( x ) = 4$인 경우 $\left| 2 x - 4 \right| = 4$에서 $x = 0$ 또는 $x = 4$이다. ⅰ), ⅱ)에 의해 방정식 $f ( f ( x ) ) = f ( x )$의 모든 실근의 합은 $\displaystyle \frac{4}{3} + \frac{8}{3} + 0 + 4 = 8$이다.(참) [다른 풀이] 방정식 $f \left( f \left( x \right) \right) = f ( x )$의 실근은 함수 $y = f \left( f \left( x \right) \right)$와 직선 $y = f \left( x \right)$의 교점의 $x$좌표와 같다. $f \left( f \left( x \right) \right)$ $= \left| 2 f \left( x \right) - 4 \right|$ $\displaystyle = {\begin{cases} 2 f \left( x \right) - 4 & \left( f \left( x \right) \geq 2 \right) \\ 4 - 2 f \left( x \right) & \left( f \left( x \right) < 2 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} 2 \left| 2 x - 4 \right| - 4 & \left( 0 \leq x \leq 1 \text{또는} 3 \leq x \leq 4 \right) \\ 4 - 2 \left| 2 x - 4 \right| & \left( 1 < x < 3 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} - 4 x + 4 & \left( 0 \leq x \leq 1 \right) \\ 4 x - 4 & \left( 1 < x < 2 \right) \\ - 4 x + 12 & \left( 2 \leq x < 3 \right) \\ 4 x - 12 & \left( 3 \leq x \leq 4 \right) \end{cases}}$ 이다. 그러므로 방정식 $f \left( f \left( x \right) \right) = f ( x )$의 실근은 그림과 같이 $0$, $\alpha$, $\beta$, $4$이다.

한편, $y = f \left( f \left( x \right) \right)$는 직선 $x = 2$에 대하여 대칭이므로 $\alpha + \beta = 4$이다. 따라서 방정식 $f \left( f \left( x \right) \right) = f ( x )$의 실근의 합은 $8$이다.