절댓값 함수 보기

[출제의도] 합성함수를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. ㄱ. $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \begin{aligned} - 2 x \\ \\ 2 \\ \end{aligned} & \begin{aligned} ( x \leq - 1 ) \\ \\ ( - 1 < x < 1 ) \\ \end{aligned} \\ 2 x & ( x \geq 1 ) \end{cases}}$ 이므로 $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같고, 최솟값은 2이다.

ㄴ. $y = g ( x )$는 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 -} {} g ( x ) = - 1 + a$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1 +} {} g ( x ) = - 1 + a$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} g ( x ) = - 1 + a$ 이고, $g ( - 1 ) = - 1 + a$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g ( x ) = 1 - a$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} g ( x ) = 1 - a$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} g ( x ) = 1 - a$ 이고, $g ( 1 ) = 1 - a$ $g ( x )$는 $x = \pm 1$에서 연속이므로 실수 전체 집합에서 연속이고 $a < 1$일 때 실수 전체의 집합에서 증가하므로 역함수가 존재한다. (참) ㄷ. $f ( g ( k ) ) = 2$를 만족하는 $g ( k )$는 $- 1 \leq g ( k ) \leq 1$ (1) $0 < a \leq 2$일 때

$- 1 \leq k \leq 1$인 모든 실수 $k$에 대하여 $- 1 \leq g ( k ) \leq 1$ 이므로 $- a - 1 \leq k \leq a + 1$ (2) $a > 2$일 때

$- a - 1 \leq k \leq - a + 1$ 또는 $\displaystyle - \frac{1}{a - 1} \leq k \leq \frac{1}{a - 1}$ 또는 $a - 1 \leq a + 1$ (1), (2)에 의하여 실수 $k$의 최댓값은 $a + 1$ (참)