절댓값 등비수열의 부호 결정

[출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는가? 조건 (가), (나)에서 수열 $\left\{ \left| a _{n} \right| \right\}$은 첫째항이 $2$, 공비가 $2$인 등바수열이므로 $\left| a _{n} \right|$$= 2 ^{n}$ 한편, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{9} \left| a _{k} \right|$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{9} 2 ^{k}$$\displaystyle = \frac{2 \left( 2 ^{9} - 1 \right)}{2 - 1}$$= 2 ^{10} - 2$ $\left| a _{10} \right|$$= 2 ^{10}$ 조건 (다)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{n}$$= \mathit{-} 14$ 를 만족하기 위해서는 $a _{1} = \mathit{-} 2$, $a _{2} = \mathit{-} 4$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 3} ^{9} \left| a _{k} \right|$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 3} ^{9} 2 ^{k}$$\displaystyle = \frac{2 ^{3} \left( 2 ^{7} - 1 \right)}{2 - 1}$$= 2 ^{10} - 8$, $a _{10}$$= \mathit{-} 1024$ 이어야 한다. 따라서 $a _{1} + a _{3} + a _{5} + a _{7} + a _{9}$ $= \left( \mathit{-} 2 \right) + 2 ^{3} + 2 ^{5} + 2 ^{7} + 2 ^{9}$ $= 678$