적분함수 보기

[출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 추론하기 ㄱ. $x \leq 0$일 때, $f \left( x \right) = 1$이므로 $\displaystyle g \left( 0 \right) = \int _{- 1} ^{0} {e ^{t} f \left( t \right) dt} = \int _{- 1} ^{0} {e ^{t} dt}$ $\displaystyle = \left[ e ^{t} \right] _{- 1} ^{0} = 1 - \frac{1}{e}$ (참) ㄴ. $g' \left( x \right) = e ^{x} f \left( x \right) = 0$이면 $f \left( x \right) = 0$이므로 $x = 1$ 함수 $g \left( x \right)$의 증감표는 다음과 같다.

$\therefore$ $g \left( x \right)$는 극댓값 $\displaystyle e - 1 - \frac{1}{e}$을 갖는다. (거짓) ㄷ. ㄴ의 증감표에 의하여 $g \left( x \right) = 0$은 많아야 $2$개의 실근을 갖는다. ⅰ) $g \left( - 1 \right) = 0$이므로 한 실근을 갖는다. ⅱ) $\displaystyle g \left( 1 \right) = e - 1 - \frac{1}{e} > 0$, $\displaystyle g \left( 2 \right) = - 1 - \frac{1}{e} < 0$ 이므로 중간값의 정리에 의하여 열린 구간 $\left( 1 , 2 \right)$에서 적어도 한 실근을 갖는다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 $g \left( x \right) = 0$의 실근의 개수는 $2$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ