미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분으로 정의된 함수 미분

문제

함수 f(x)=exsin⁡π2x\displaystyle f ( x ) = e ^{x} \sin \frac{\pi}{2} x에 대하여 S(t)=∫0t2x{f(t)−f(x)}dx\displaystyle S ( t ) = \int _{0} ^{t} {2 x \left\{ f ( t ) - f ( x ) \right\} dx} 일 때, S′(2)S' ( 2 )의 값은? [3점] ①−2πe2- 2 \pi e ^{2}②−πe2- \pi e ^{2}③πe2\pi e ^{2}④2πe22 \pi e ^{2}⑤π2e2\pi ^{2} e ^{2}

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①

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해설

S(t)=∫0t2x{f(t)−f(x)}dx=f(t)∫0t2xdx−∫0t2xf(x)dx\displaystyle S ( t ) = \int _{0} ^{t} {2 x \left\{ f ( t ) - f ( x ) \right\} dx} = f ( t ) \int _{0} ^{t} {2 xdx} - \int _{0} ^{t} {2 xf ( x ) dx} 에서 S′(t)=t2f′(t)+2tf(t)−2tf(t)=t2f′(t)S' ( t ) = t ^{2} f' ( t ) + 2 tf ( t ) - 2 tf ( t ) = t ^{2} f' ( t ) 한편, f′(x)=exsin⁡π2x+π2excos⁡π2x\displaystyle f' ( x ) = e ^{x} \sin \frac{\pi}{2} x + \frac{\pi}{2} e ^{x} \cos \frac{\pi}{2} x 이므로 S′(2)=4f′(2)=−2πe2S' ( 2 ) = 4 f' ( 2 ) = - 2 \pi e ^{2}

태그

#적분과 미분#지수·삼각

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