미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분방정식 보기 판단

문제

실수전체의 집합에서 미분 가능한 함수 f(x)f ( x )가 f(x)=ex−1+∫0xf(t)dt\displaystyle f ( x ) = e ^{x} - 1 + \int _{0} ^{x} {f ( t )} dt 를 만족할 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?(단, ee는 자연로그의 밑) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. f(0)=0f ( 0 ) = 0이다. ㄴ. f′(0)=0f' ( 0 ) = 0이다. ㄷ. 모든 실수 xx에 대하여 f′(x)>f(x)f' ( x ) > f ( x )이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ.주어진 식에 x=0x = 0을 대입하면 f(0)=e0−1+∫00f(t)dt=1−1+0=0\displaystyle f ( 0 ) = e ^{0} - 1 + \int _{0} ^{0} {f ( t ) dt} = 1 - 1 + 0 = 0 ∴ 참 ㄴ. 주어진 식을 xx에 대하여 미분하면 f′(x)=ex+f(x)f' ( x ) = e ^{x} + f ( x ), f′(0)=e0+f(0)=1f' ( 0 ) = e ^{0} + f ( 0 ) = 1 ∴ 거짓 ㄷ. ㄴ에서 f′(x)−f(x)=ex>0f' ( x ) - f ( x ) = e ^{x} > 0이므로 f′(x)>f(x)f' ( x ) > f ( x ) ∴ 참

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#적분과 미분의 관계#보기문제

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