미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

적분 조건 함수

문제

두 함수 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, f(0)f ( 0 )의 값은? (단, aa는 상수이다.) [4점]

(가) ∫π2xf(t)dt={g(x)+a}sin⁡x−2\displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}} ^{x} {} f ( t ) dt = \left\{ g ( x ) + a \right\} \sin x - 2 (나) g(x)=∫0π2f(t)dtcos⁡x+3\displaystyle g ( x ) = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {} f ( t ) dt \cos x + 3

①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

[출제의도] 함수와 정적분의 관계를 이해한다. (나)에서 ∫0π2f(t)dt=k\displaystyle \int _{} ^{} {} _{0} ^{\frac{\pi}{2}} f ( t ) dt = k라 두면 g(x)=kcos⁡x+3g ( x ) = k \cos x + 3 (가)에서 x=0x = 0을 대입하면 −k=(k+3+a)⋅0−2- k = ( k + 3 + a ) \cdot 0 - 2이므로 k=2k = 2이고, x=π2\displaystyle x = \frac{\pi}{2}를 대입하면 0=(3+a)⋅1−20 = ( 3 + a ) \cdot 1 - 2이므로 a=−1a = - 1이다. 따라서 g(x)=2cos⁡x+3g ( x ) = 2 \cos x + 3이므로 ∫π2xf(t)dt=(2cos⁡x+2)sin⁡x−2\displaystyle \int _{\frac{\pi}{2}} ^{x} f ( t ) dt = ( 2 \cos x + 2 ) \sin x - 2 f(x)=−2sin⁡2x+(2cos⁡x+2)cos⁡xf ( x ) = - 2 \sin ^{2} x + ( 2 \cos x + 2 ) \cos x ∴ f(0)=4f ( 0 ) = 4

태그

#적분으로 정의된 함수#삼각함수 적분

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