적분 함수 보기 판단

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수에 대하여 평균값의 정리와 사잇값의 정리를 활용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판별할 수 있는가? ㄱ. $\displaystyle 0 < x < \sqrt{\pi}$에서 $e ^{-x} > 0$, $\sin ( x ^{2} ) \geq 0$이고 $\sin 0 = \sin \pi = 0$이므로 $\displaystyle f ( \sqrt{\pi} ) = e ^{-\pi} \int _{0} ^{\sqrt{\pi}} \sin ( t ^{2} ) dt > 0$ (참) ㄴ. $\displaystyle f' ( x ) = - e ^{-x} \int _{0} ^{x} \sin ( t ^{2} ) dt + e ^{-x} \sin ( x ^{2} )$ $\displaystyle f' ( 0 ) = - e ^{-0} \int _{0} ^{0} \sin ( t ^{2} ) dt + e ^{-0} \sin 0 ^{2} = 0$ $\displaystyle f' ( \sqrt{\pi} ) = - e ^{-} \sqrt{\pi} \int _{0} ^{\sqrt{\pi}} \sin ( t ^{2} ) dt + e ^{- \sqrt{\pi}} \sin ( \sqrt{\pi ^{2}} )$ $\displaystyle = - f ( \sqrt{\pi} ) < 0$ 함수 $f ( x )$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ 0 , \sqrt{\pi} ]$에서 연속이고, 열린 구간 $\displaystyle ( 0 , \sqrt{\pi} )$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 $\displaystyle f' ( a ) = \frac{f ( \sqrt{\pi} ) - f ( 0 )}{\sqrt{\pi} - 0} > 0$ 를 만족시키는 $a$가 열린구간 $\displaystyle ( 0 , \sqrt{\pi} )$에서 적어도 하나 존재한다. (참) ㄷ. ㄴ을 만족시키는 $a$($\displaystyle 0 < a < \sqrt{\pi}$)에 대하여 함수 $f ( x )$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , \sqrt{\pi} ]$에서 연속이고 $\displaystyle f' ( a ) > 0 , f' ( \sqrt{\pi} ) < 0$이므로 사잇값 정리에 의해 $f' ( b ) = 0$이 되는 $b$가 열린구간 $\displaystyle ( 0 , \sqrt{\pi} )$에서 적어도 하나 존재한다. (참) 그러므로 옳은 것은 ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.