적분 등식과 다항함수

[출제의도] 정적분과 미분의 관계와 정적분의 성질을 이용하여 함수식을 구할 수 있는가? 조건 (가)에 주어진 등식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} f ( x ) + \frac{1}{2} f ( 1 ) + \frac{x - 1}{2} f' ( x )$ 즉, $f ( x ) = f ( 1 ) + ( x - 1 ) f' ( x ) \cdots \cdots \text{㉠}$ $\text{㉠}$의 좌편인 $f ( x )$의 최고차항을 $ax ^{n}$ ($a$는 $0$이 아닌 상수, $n$은 자연수) 라 하면 $\text{㉠}$의 우변의 최고차항은 $x \times anx ^{n-1} = anx ^{n}$ 이므로 $ax ^{n} = anx ^{n}$에서 $n = 1$ 이때 $f ( 0 ) = 1$이므로 일차함수 $f ( x )$는 $f ( x ) = ax + 1$ 로 놓을 수 있다. 이때 $\displaystyle \int _{0} ^{2} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} ( ax + 1 ) dx$$\displaystyle = \left[ \frac{a}{2} x ^{2} + x \right] _{0} ^{2} = 2 a + 2$ 이고, $\displaystyle \int _{-1} ^{1} xf ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{-1} ^{1} \left( ax ^{2} + x \right) dx$$=$$\displaystyle 2 \int _{0} ^{1} ax ^{2} dx = 2 \left[ \frac{a}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{1} = \frac{2 a}{3}$ 이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle 2 a + 2 = 5 \times \frac{2 a}{3}$ $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ 따라서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{3}{2} x + 1$이므로 $\displaystyle f ( 4 ) = \frac{3}{2} \times 4 + 1 = 7$