제한범위 최솟값 보기

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 추론하기 ㄱ. $\displaystyle a = \frac{3}{2}$일 때, $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - \frac{3}{2} \right) ^{2} + b$이고 $\displaystyle x = \frac{3}{2}$에서 최솟값 $5$를 가지므로 $\displaystyle f \left( \frac{3}{2} \right) = b = 5$이다. (참) ㄴ. $a \leq 1$일 때, $f \left( x \right)$는 $x = 1$에서 최솟값을 가지므로 $f \left( 1 \right) = \left( 1 - a \right) ^{2} + b = 5$이고 $b = \mathit{-} a ^{2} + 2 a + 4$이다. (참) ㄷ. (ⅰ) $a \leq 1$인 경우 ㄴ에서 $b = \mathit{-} a ^{2} + 2 a + 4$이므로 $\displaystyle a + b = \mathit{-} a ^{2} + 3 a + 4 = \mathit{-} \left( a - \frac{3}{2} \right) ^{2} + \frac{25}{4}$이다. 따라서 $a + b$는 $a = 1$에서 최댓값 $6$을 가진다. (ⅱ) $1 < a \leq 2$인 경우 $f \left( x \right)$는 $x = a$에서 최솟값 $b = 5$이므로 $6 < a + b \leq 7$이고 $a + b$는 $a = 2$에서 최댓값 $7$을 가진다. (ⅲ) $a > 2$인 경우 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 최솟값을 가지고 $f \left( 2 \right) = \left( 2 - a \right) ^{2} + b = 5$, $b = \mathit{-} a ^{2} + 4 a + 1$에서 $\displaystyle a + b = \mathit{-} a ^{2} + 5 a + 1 = \mathit{-} \left( a - \frac{5}{2} \right) ^{2} + \frac{29}{4}$이므로 $a + b$는 $\displaystyle a = \frac{5}{2}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{29}{4}$를 가진다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $a + b$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{29}{4}$이다. (참)