제한 범위 이차함수 최솟값

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 추론하기 $f \left( 0 \right) = f \left( 4 \right)$이므로 이차함수 $f \left( x \right)$의 대칭축은 $x = 2$이다. $f \left( x \right) = a {\left( x - 2 {) ^{2} + b} \right.}$ ($a$, $b$는 상수, $a \ne 0$)이라 하자. 이차함수 $f \left( x \right)$의 대칭축이 $x = 2$이므로 $f \left( - 1 \right) \ne f \left( 4 \right)$이다. 따라서 $f \left( - 1 \right) + \left| f \left( 4 \right) \right| = 0$에서 $f \left( - 1 \right) = f \left( 4 \right) = 0$은 성립하지 않으므로 $f \left( - 1 \right) = \mathit{-} \left| f \left( 4 \right) \right| < 0$이고 $\left| f \left( - 1 \right) \right| = \left| f \left( 4 \right) \right|$ … ① 이다. (ⅰ) $a > 0$인 경우

$( - 1 , f ( - 1 ) )$ $y = f ( x )$ $( 4 , f ( 4 ) )$

$f \left( 4 \right) < f \left( - 1 \right) < 0$이 되어 ①을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a < 0$인 경우

$\left( 4 , f {\left( 4 {) {)}} \right.} \right.$ ${\left( - 1 , f {\left( - 1 {) {)}} \right.} \right.}$ $y = f {\left( x {)} \right.}$

①에서 $f {\left( - 1 {) < 0} \right.}$이므로 $f \left( 4 \right) > 0$이다. 그러므로 $f \left( - 1 \right) + \left| f {\left( 4 {) | = 0} \right.} \right.$에서 $f \left( - 1 \right) + f \left( 4 \right) = 13 a + 2 b = 0$ … ② 이다. $a < 0$이므로 $- 2 \leq x \leq 5$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최솟값은 $f \left( - 2 \right) = 16 a + b = \mathit{-} 19$ … ③ 이다. ②와 ③을 연립하면 $a = \mathit{-} 2$, $b = 13$이다. 따라서 $f ( x ) = \mathit{-} 2 {\left( x - 2 {) ^{2} + 13} \right.}$이므로 $f {\left( 3 {) = 11} \right.}$이다.