제곱의 나머지

[출제의도] 다항식의 나눗셈 문제 해결하기 $f \left( x \right)$를 $x ^{2} + 1$로 나누었을 때의 몫을 $Q \left( x \right)$라 하면 나머지가 $x + 1$이므로 $f \left( x \right) = \left( x ^{2} + 1 \right) Q \left( x \right) + x + 1$로 나타낼 수 있고, $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}$$= \left( x ^{2} + 1 \right) ^{2} \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2} + 2 \left( x ^{2} + 1 \right) \left( x + 1 \right) Q \left( x \right) + \left( x + 1 \right) ^{2}$ $\left. = \left( x ^{2} + 1 \right) \left[ \left( x ^{2} + 1 \right) \left\{ Q \left( x \right) \right\} ^{2} + 2 \left( x + 1 \right) Q \left( x \right) \right. \right. + 1 ] + 2 x$ 이다. 따라서 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2}$을 $x ^{2} + 1$로 나눈 나머지는 $R \left( x \right) = 2 x$이고 $R \left( 3 \right) = 6$이다.