공통수학2평면좌표AI기본 문제 (3점 중반)

제곱의 합 조건으로 중선의 길이

문제

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 AB‾2+AC‾2=2BC‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{BC}} ^{2}이고 BC‾=8\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \mathit{8}이다. 변 BC\mathrm{BC}의 중점을 M\mathrm{M}이라 할 때, 선분 AM\mathrm{AM}의 길이는? [3점] ①44②42\displaystyle 4 \sqrt{2}③43\displaystyle 4 \sqrt{3}④88⑤82\displaystyle 8 \sqrt{2}

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③

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해설

BC‾=8\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \mathit{8}이므로 AB‾2+AC‾2=2×64=128\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = 2 \times 64 = 128 점 M\mathrm{M}은 변 BC\mathrm{BC}의 중점이므로 BM‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{BM}} = \mathit{4} 중선정리에 의하여 AB‾2+AC‾2=2AM‾2+2BM‾2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} + \overline{\mathrm{AC}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{BM}} ^{2}이므로 128=2AM‾2+2×16\displaystyle 128 = 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2} + 2 \times 16 AM‾2=48\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} ^{2} = 48에서 AM‾=43\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = 4 \sqrt{3} 따라서 답은 ③이다.

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#중선정리#중선의 길이

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