제곱수의 오진법 일의 자리

ㄱ. $3 ^{2} = 9 = 1 \times 5 + 4 = 14 _{( 5 )}$이므로 $f ( 3 ) = 4$이다. ㄴ. 모든 자연수 $n$에 대하여, $n ^{2}$을 오진법으로 나타냈을 때, 일의 자리수는 $0 , 1 , 2 , 3 , 4$ 중에 하나이다. ㄷ. $1 ^{2} = 1 = 1 _{( 5 )}$ $\rightarrow f ( 1 ) = 1$ $2 ^{2} = 4 = 4 _{( 5 )}$ $\rightarrow f ( 2 ) = 4$ $3 ^{2} = 9 = 1 \times 5 + 4 = 14 _{(5)}$ $\rightarrow f ( 3 ) = 4$ $4 ^{2} = 16 = 3 \times 5 + 1 = 31 _{(5)}$ $\rightarrow f ( 4 ) = 1$ $5 ^{2} = 25 = 1 \times 5 ^{2} + 0 \times 5 + 0 = 100 _{(5)}$ $\rightarrow f ( 5 ) = 0$ $6 ^{2} = 36 = 1 \times 5 ^{2} + 2 \times 5 + 1 = 121 _{(5)}$ $\rightarrow f ( 6 ) = 1$ $7 ^{2} = 49 = 1 \times 5 ^{2} + 4 \times 5 + 4 = 144 _{(5)}$ $\rightarrow f ( 7 ) = 4$ ⋮ 으로 자연수 $n$의 제곱 $n ^{2}$에 대하여, $f ( n )$은 $1 , 4 , 4 , 1 , 0$이 계속 반복됨을 알 수 있다. 따라서 $f ( n ) = 2$인 자연수는 $n$은 없다.