제곱이 유리수가 되는 자연수의 개수

$\displaystyle ( \sqrt{n} + \sqrt{12} ) ^{2} = n + 12 + 2 \sqrt{12 n}$ $n + 12$는 유리수이므로 이 수가 유리수가 되려면 $\displaystyle \sqrt{12 n}$이 유리수이어야 한다. $\displaystyle \sqrt{12 n} = 2 \sqrt{3 n}$이므로 $3 n$이 제곱수이어야 하고, $n = 3 k ^{2}$ ($k$는 자연수) 꼴이다. $n \leq 50$이므로 $n = 3 , 12 , 27 , 48$ 따라서 구하는 $n$의 개수는 $4$이다.