제곱근 역수 합 부등식 증명

다음은 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ 이 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명> (ⅰ) $n = 2$ 일 때 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} > \square {( \text{가} )}$ (ⅱ) $n = k$ ($k \geq 2$) 일 때, 주어진 부등식이 성립함을 가정하면 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k}$ $\displaystyle \sqrt{k + 1} - \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}} \right)$ $\displaystyle = \sqrt{k + 1} - \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} \right) - \frac{1}{\sqrt{k + 1}}$ $\displaystyle < \sqrt{k + 1} - \square {( \text{나} )} - \frac{1}{\sqrt{k + 1}} = \frac{\square {( \text{다} )}}{\sqrt{k + 1}} < 0$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1}} > \sqrt{k + 1}$ 따라서 $n = k + 1$ 일 때도 주어진 부등식은 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $2$이상의 자연수 $n$에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{k + 1}$ $\displaystyle \sqrt{k} - \sqrt{k + 1}$②$\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{k}$ $\displaystyle \sqrt{k + 1} - \sqrt{k + 2}$③$\displaystyle \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{k}$ $\displaystyle k - \sqrt{k ( k + 1 )}$④$2$ $\displaystyle \sqrt{k}$ $\displaystyle k - \sqrt{k ( k + 1 )}$⑤$2$ $\displaystyle \sqrt{k + 1}$ $\displaystyle \sqrt{k + 1} - \sqrt{k + 2}$