미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

제곱근 점화식 극한

문제

수열 {an}\{ a _{n} \}a1=13,an+1=an\displaystyle a _{1} = \frac{1}{3} , a _{n + 1} = \sqrt{a _{n}}을 만족할 때, limnan\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}의 값은? [3점] 0013\displaystyle \frac{1}{3}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}1133

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해설

a1=13,an+1=an12\displaystyle a _{1} = \frac{1}{3} , a _{n+1} = a _{n} ^{\frac{1}{2}}에서 an=(13)(12)n1\displaystyle a _{n} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{\left( \frac{1}{2} \right)} {}^{n-1}이므로 극한값 limnan=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = 1이다.

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