자연수 만들기 빈칸

[출제의도] 여러 가지 순열의 수를 구하는 과정을 추론한다. 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는 세 군데이므로 숫자 $2$는 많아야 세 번 사용할 수 있다. (ⅰ) 숫자 $2$를 한 번 사용한 경우 $2$를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 $1$, $1 ,$ $1$, $1 ,$ $1$, $3$ 또는 $1 ,$ $1$, $1$, $1$, $3$, $3$ 또는 $1$, $1$, $1$, $3$, $3$, $3$ 또는 $1$, $1$, $3$, $3$, $3 ,$ $3$ 또는 $1$, $3$, $3$, $3$, $3 ,$ $3$을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6 !}{5 ! 1 !} + \frac{6 !}{4 ! 2 !} + \frac{6 !}{3 ! 3 !} + \frac{6 !}{2 ! 4 !} + \frac{6 !}{1 ! 5 !}$$= {\square {62}}$이다. $2$를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 ${} _{3} \mathrm{C} _{1}$$= 3$이다. 그러므로 숫자 $2$를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 $3 \times 62$$= {\square {186}}$이다. (ⅲ) 숫자 $2$를 세 번 사용한 경우 $2$를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 $1$, $3$을 모두 한 번 이상씩 사용하여 만든 것이므로 나머지 자리에 $1$, $1$, $1 ,$ $3$ 또는 $1$, $1$, $3$, $3$ 또는 $1$, $3$, $3$, $3$을 나열하여 만든 것이다. 그러므로 그 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{3 ! 1 !} + \frac{4 !}{2 ! 2 !} + \frac{4 !}{1 ! 3 !}$$= {\square {14}}$이다. 그러므로 $p = 62$, $q = 186$, $r = 14$ 따라서 $p + q + r$$= 262$ [다른 풀이] (ⅲ) 숫자 $2$를 세 번 사용한 경우 $2$를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 $1$, $3$을 모두 한 번 이상씩 사용하여 만든 것이다. 즉, 구하려는 값은 $1$, $3$을 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열하는 경우의 수에서 $1$을 네 개, $3$을 네 개 선택한 경우의 수 $2$를 뺀 값이므로 $\displaystyle {} _{2} \prod _{4} - 2$$= 2 ^{4} - 2$$= {\square {14}}$이다. [보충 설명] (ⅱ) 숫자 $2$를 두 번 사용한 경우 $2$, $2$를 십의 자리와 천의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 $1$, $1 ,$ $1$, $1 ,$ $3$ 또는 $1$, $1$, $1$, $3$, $3$ 또는 $1$, $1$, $3$, $3$, $3$ 또는 $1$, $3$, $3$, $3$, $3$을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 !}{4 ! 1 !} + \frac{5 !}{3 ! 2 !} + \frac{5 !}{2 ! 3 !} + \frac{5 !}{1 ! 4 !}$$= 30$이다. $2$를 짝수 번째 자리에 두 번 오도록 놓는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{C} _{2}$$= 3$이다. 그러므로 숫자 $2$를 두 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 $3 \times 30$$= 90$이다.