자연수 배열 수열 합

[출제의도] 수열의 규칙성을 찾아서 수열을 추론하고 합을 구한다. $n \geq 2$일 때, 제 $n - 1$행의 맨 오른쪽 끝의 수는 $1 + 2 + 3 + \cdots + ( n - 1 )$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} k = \frac{n ( n - 1 )}{2}$이다. 따라서 $a _{n}$은 $\displaystyle \frac{n ( n - 1 )}{2}$보다 큰 수 중 가장 작은 $n$의 배수이다. ⅰ) $n$이 홀수일 때, $\displaystyle \frac{n ( n - 1 )}{2}$이 $n$의 배수이므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2} + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ $\displaystyle a _{2 n - 1} = \frac{( 2 n - 1 ) ( 2 n - 1 + 1 )}{2} = 2 n ^{2} - n$ ⅱ) $n$이 짝수일 때, $\displaystyle \frac{n ( n - 1 )}{2} = n \times \frac{n - 2}{2} + \frac{n}{2}$이므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2} + \frac{n}{2} = \frac{1}{2} n ^{2}$ $\displaystyle a _{2 n} = \frac{1}{2} ( 2 n ) ^{2} = 2 n ^{2}$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{30} a _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{15} ( a _{2 n - 1} + a _{2 n} )$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{15} ( 2 n ^{2} - n + 2 n ^{2} )$ $\displaystyle = 4 \sum\limits _{n = 1} ^{15} n ^{2} - \sum\limits _{n = 1} ^{15} n$ $\displaystyle = 4 \times \frac{15 \times 16 \times 31}{6} - \frac{15 \times 16}{2}$ $= 4840$