대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

자릿수 수열의 위치

문제

$1$ 부터 연속된 자연수를 나열하여 각 자릿수로 다음과 같은 수열을 만들었다. $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $1$ , $0$ , $1$ , $1$ , $1$ , $2$ , $1$ , $3$ , $1$ , $4$ , … 이 수열의 제 $n$ 항부터 연속된 네 개의 항이 차례로 $2$ , $0$ , $1$ , $0$ 일 때, 자연수 $n$ 의 최솟값은? [4점] ① $2960$ ② $2964$ ③ $2968$ ④ $2972$ ⑤ $2976$

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④

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해설

연속된 네 개의 항이 처음으로 $2 , 0 , 1 , 0$ 이 되는 때는 다음과 같이 자연수 $1020$ 과 $1021$ 의 각 자릿수를 나열할 때이다. $1 , 2 , 3 , 4 , \cdots , 1 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 2 , 1 , \cdots$ 자연수 $1020$ 이 나타날 때까지 나열된 자릿수의 개수는 한 자리 수의 자릿수 : $9$ (개) 두 자리 수의 자릿수 : $90 \times 2 = 180$ (개) 세 자리 수의 자릿수 : $900 \times 3 = 2700$ (개) 네 자리 수의 자릿수 : $20 \times 4 = 80$ (개) 이를 모두 더하면 $9 + 180 + 2700 + 80 = 2969$ 이다. 따라서 $n$ 의 최솟값은 $2969 + 3 = 2972$ 이다.

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