자릿수 조건 보기

[출제의도] 상용로그의 지표와 자리수의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. (거짓)$\displaystyle \frac{b ^{2}}{a}$은 정수부분이 여섯 자리이므로 $\displaystyle 5 \leq \log \frac{b ^{2}}{a} < 6$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha = \log \frac{b ^{2}}{a} - 5$, $\displaystyle \log \frac{b ^{2}}{a} = \alpha + 5$ ∴ $\displaystyle 10 ^{\alpha + 5} = \frac{b ^{2}}{a}$ ㄴ. (참) $\displaystyle \frac{a ^{2}}{b}$은 소수 셋째 자리에서 처음으로 $0$아닌 숫자가 나타나므로 $\displaystyle - 3 \leq \log \frac{a ^{2}}{b} < - 2$이다. ∴$\displaystyle \left[ \log \frac{a ^{2}}{b} \right] = - 3$ ㄷ. (참)$5 \leq 2 \log {b} - \log a < 6$$\cdots$㉠, $- 3 \leq 2 \log {a} - \log {b} < - 2$$\cdots$㉡ ㉠+㉡×2에서 $- 1 \leq 3 \log a < 2$, $\displaystyle - \frac{1}{3} \leq \log a < \frac{2}{3}$ 그러므로 $\log a$의 지표는 $- 1$또는 $0$이다. 그런데 $a$는 자연수이므로 $a$는 한 자리 자연수이다.