자명하지 않은 해를 갖는 연립방정식

[출제의도] 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 가질 조건을 구할 수 있는가? $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 & a \\ a & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} x + 5 y \\ 6 x + y \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{lll} {\begin{pmatrix} 5 & a \\ a & 3 \end{pmatrix}} - {\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}} \end{array} \right\} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} 4 & a - 5 \\ a - 6 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가지려면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 4 & a - 5 \\ a - 6 & 2 \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. $\therefore 8 - ( a - 5 ) ( a - 6 ) = 0$, $a ^{2} - 11 a + 22 = 0$이고 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 가진다. 따라서, 모든 실수 $a$의 값의 합은 $11$이다.