자명하지 않은 해 k

[출제의도] 연립방정식의 해가 무수히 많을 조건을 구한다. $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = k {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 2 \\ 4 & 8 - k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 이 연립방정식이 $x = 0$, $y = 0$ 이외의 해를 가지므로 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 5 - k & 2 \\ 4 & 8 - k \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않는다. $( 5 - k ) ( 8 - k ) - 8 = 0$ $k ^{2} - 13 k + 32 = 0$ 이 이차방정식의 두 실근을 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 근과 계수와의 관계에 의해 $\alpha \beta = 32$