자명하지 않은 해 조건

[출제의도] 연립일차방정식의 해가 무수히 많을 조건과 역행렬의 성질을 이해한다. 주어진 연립방정식을 정리하면 $\displaystyle {\begin{cases} 3 x - 3 y = kx & \\ 3 x + 5 y = - ky & \end{cases}}$ $\displaystyle {\begin{cases} \left( 3 - k \right) x - 3 y = 0 & \\ 3 x + \left( 5 + k \right) y = 0 & \end{cases}}$ 이다. 이를 다시 행렬로 나타내면 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 3 - k & - 3 \\ 3 & 5 + k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$ 이므로 $x = 0 , y = 0$이외의 해를 갖기 위해서는 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 3 - k & - 3 \\ 3 & 5 + k \end{pmatrix}}$가 역행렬을 갖지 않아야 한다. $( 3 - k ) ( 5 + k ) - \left( - 9 \right) = 0$ $k ^{2} + 2 k - 24 = 0$ $( k - 4 ) ( k + 6 ) = 0$ ∴ $k = - 6$ 또는 $k = 4$ 따라서 구하는 양수 $k$의 값은 $4$이다.