자명하지 않은 해 조건

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{k} + 1 & & 2 ^{k+3} - 16 \\ 2 & & 2 ^{k} - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{k} & & 8 \cdot 2 ^{k} - 16 \\ 2 & & 2 ^{k} - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $x = y = 0$ 이외의 해를 갖기 위해서는 위 행렬의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. $2 ^{k} ( 2 ^{k} - 2 ) - 2 ( 8 \cdot 2 ^{k} - 16 ) = 0$ $2 ^{k} = t$로 치환하면 $t ^{2} - 18 t + 32 = 0$ $( t - 2 ) ( t - 16 ) = 0$ $t = 2 ^{k} = 2 , 16$ $\therefore k = 1 , 4$ 따라서, 두 근의 합은 5이다.