공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

자전거 이동 시간

문제

그림은 어느 공원의 입구에서 출발하여 자전거 대여소와 반납 장소를 거쳐 출구에 도착하는 경로를 나타낸 것이고, 구간별 거리는 표와 같다.

구간			거리 ( $\mathrm{km}$ )
입구	→	자전거 대여소	$1$
자전거 대여소	→	반납 장소	$8$
반납 장소	→	출구	$2$

공원의 입구에서 자전거 대여소까지 속력 $v$ 로 걸은 후, 자전거 대여소에서 반납 장소까지 속력 $4 v$ 로 자전거를 타고 이동하고, 반납 장소에서 출구까지 속력 $v + 1$ 로 걸으려고 한다. 공원의 입구에서 출발하여 출구에 도착할 때까지 걸리는 총 시간이 $1$ 시간 $30$ 분 이하가 되도록 할 때, 속력 $v$ 의 최솟값은? (단, 자전거를 대여하고 반납하는 데 걸리는 시간은 무시하고, 속력의 단위는 $\mathrm{km}$ /시이다.) [3점] ① $\displaystyle \frac{5}{2}$ ② $3$ ③ $\displaystyle \frac{7}{2}$ ④ $4$ ⑤ $\displaystyle \frac{9}{2}$

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②

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해설

[출제의도] 분수부등식을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \frac{1}{v} + \frac{8}{4 v} + \frac{2}{v + 1} \leq \frac{3}{2}$ $\displaystyle \frac{3}{v} + \frac{2}{v + 1} \leq \frac{3}{2}$ $v > 0$ 이므로 양변에 $2 v ( v + 1 )$ 을 곱하면 $6 ( v + 1 ) + 4 v \leq 3 v ( v + 1 )$ $3 v ^{2} - 7 v - 6 \geq 0$ $( 3 v + 2 ) ( v - 3 ) \geq 0$ $v > 0$ 이므로 $v \geq 3$ 따라서 $v$ 의 최솟값은 $3$ ( $\mathrm{km}$ /시)

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