공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

자기 자신이 역함수인 분수함수의 함숫값

문제

분수함수 f(x)=ax+bcx+d\displaystyle f ( x ) = \frac{ax + b}{cx + d}가 다음 세 조건을 만족할 때, f(5)f ( 5 )의 값은? (단, a,b,c,da , b , c , d 는 00이 아닌 실수이고, ad−bc≠0ad - bc \ne 0이다.)

< 조 건 >
(가) f(1)=1f ( 1 ) = 1 (나) f(7)=7f ( 7 ) = 7 (다) x≠−dc\displaystyle x \ne - \frac{d}{c}인 모든 실수 xx에 대하여 f(f(x))=xf ( f ( x ) ) = x

①1313②1414③1515④1616⑤1717

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①

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해설

주어진 조건으로부터 (가) a+b=c+da + b = c + d (나) 7a+b=49c+7d7 a + b = 49 c + 7 d (다) f(x)=f−1(x)f ( x ) = f ^{-1} ( x )이므로 함수 y=f(x)y = f ( x )는 y=xy = x에 대하여 대칭이다. f(x)=ax+bcx+d=ac⋅(cx+d)−adc+bcx+d=ac+bc−adc(cx+d)\displaystyle f ( x ) = \frac{ax + b}{cx + d} = \frac{\frac{a}{c} \cdot ( cx + d ) - \frac{ad}{c} + b}{cx + d} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c ( cx + d )} 이므로 ac=−dc\displaystyle \frac{a}{c} = - \frac{d}{c} 즉, a=−da = - d 이들 세 조건을 이용하면 a=4c,b=−7c,d=−4ca = 4 c , b = - 7 c , d = - 4 c이다. 따라서 f(5)=5a+b5c+d=13cc=13\displaystyle f ( 5 ) = \frac{5 a + b}{5 c + d} = \frac{13 c}{c} = 13

태그

#분수함수#역함수#항등식

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