공통수학1연립일차부등식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이윤 최대 선형계획

문제

두 종류의 재료 $\mathrm{A} , B$ 를 수입하여 제품 $\mathrm{P} , Q$ 를 생산ㆍ판매하는 공장이 있다. 표는 $\mathrm{P} , Q$ 를 각각 $1$ 개씩 생산하는데 필요한 재료 $\mathrm{A} , B$ 의 무게를 나타낸 것이다. 재료 $\mathrm{A} , B$ 의 $1$ 톤 당 수입가격은 각각 $40$ 만 원, $60$ 만 원이고, 한 달 동안 $\mathrm{A} , B$ 를 각각 $2.4$ 톤 이하, $2.6$ 톤 이하로 수입하고자 한다. 제품 $\mathrm{P} , Q$ 의 $1$ 개 당 판매가격은 각각 $70$ 만 원, $80$ 만 원이다.

제품 재료	$\mathrm{P}$	$\mathrm{Q}$
$\mathrm{A}$ (톤)	$0.8$	$0.4$
$\mathrm{B}$ (톤)	$0.2$	$0.6$
<표>

$T$ $=$ ( $\mathrm{P} , Q$ 의 총 판매가격) $-$ ( $\mathrm{A} , B$ 의 총 수입가격) 이라 할 때, 한 달 동안 이 공장에서 얻을 수 있는 $T$ 의 최대값은? [4점] ① $104$ 만 원② $116$ 만 원③ $124$ 만 원④ $132$ 만 원⑤ $138$ 만 원

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⑤

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해설

[출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 실생활에서 발생할 수 있는 경우의 최대, 최소값을 구하는 문제이다. $\mathrm{P} , Q$ 를 각각 $x , y$ 개 생산ㆍ판매한다고 하자. 문제의 조건으로부터 $x \geq 0$ , $y \geq 0$ … ㉠ $0.8 x + 0.4 y \leq 2.4$ ∴ $2 x + y \leq 6$ … ㉡ $0.2 x + 0.6 y \leq 2.6$ ∴ $x + 3 y \leq 13$ … ㉢ 따라서 점 $( x , y )$ 의 영역은 그림의 색칠한 부분과 같다.

이 때, $T \mathit{=} 70 x + 80 y$ $- ( 0.8 x \times 40 + 0.2 x \times 60 + 0.4 y \times 40 + 0.6 y \times 60 )$ $= 26 x + 28 y$ 위의 그림에서 $T$ 는 두 직선 $2 x + y = 6 , x + 3 y = 13$ 의 교점 $( 1 , 4 )$ 을 지날 때 최대가 되므로 $T$ 의 최대값은 $26 \times 1 + 28 \times 4 = 138$ (만 원)

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