이웃한 수의 곱이 짝수

[출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이용하여 추론하기 $8$장의 카드에서 $7$장의 카드를 택하는 경우는 짝수가 적혀 있는 카드가 $4$장 또는 $3$장 선택되는 경우이다. (ⅰ) 짝수가 적혀 있는 카드가 $4$장 선택된 경우 짝수 $2$, $2$, $2$, $4$가 적혀 있는 $4$장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{3 !} = 4$ 짝수가 적힌 $4$장의 카드를 □로 나타내면 홀수가 적힌 카드끼리는 서로 이웃하지 않아야 하므로 그림과 같이 ∨로 표시된 다섯 곳 중 세 곳에 홀수가 적힌 $3$장의 카드가 나열되어야 한다. ∨□∨□∨□∨□∨ 홀수가 적혀 있는 $3$장의 카드는 $1$, $3$, $3$이 적힌 카드이거나 $1$, $1$, $3$이 적힌 카드이므로 홀수가 적힌 $3$장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathrm{_{5}} C _{3} \times 2 \times \frac{3 !}{2 !} = 60$ 구하는 경우의 수는 $4 \times 60 = 240$ (ⅱ) 짝수가 적혀 있는 카드가 $3$장 선택된 경우 짝수가 적혀 있는 $3$장의 카드는 $2$, $2$, $2$가 적힌 카드이거나 $2$, $2$, $4$가 적힌 카드이므로 짝수가 적힌 $3$장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle 1 + \frac{3 !}{2 !} = 4$ 이 각각에 대하여 짝수가 적힌 $3$장의 카드를 □로 나타내면 홀수가 적힌 카드끼리는 서로 이웃하지 않아야 하므로 그림과 같이 ∨로 표시된 네 곳에 홀수가 적힌 $4$장의 카드가 나열되어야 한다. ∨□∨□∨□∨ 홀수 $1$, $1$, $3$, $3$이 적혀 있는 $4$장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6$ 구하는 경우의 수는 $4 \times 6 = 24$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $240 + 24 = 264$