이웃하지 않는 배열

[출제의도] 순열을 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다. 조건 (나)에서 $2$학년 학생 $4$명 중에서 $2$명이 양 끝에 있는 의자에 앉는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{P} _{2}$$= 4 \times 3$$= 12$ 위의 각각의 경우에 대하여 $1$학년 학생이 앉을 수 있는 의자를①, $2$학년 학생이 앉을 수 있는 의자를 ②라 할 때, 조건 (가)를 만족시키도록 나머지 $4$명의 학생이 $4$개의 의자에 앉는 경우는 다음 $3$가지 중 하나이다. ① ② ① ②,　 ① ② ② ①,　 ② ① ② ① $1$학년 학생 $2$명과 $2$학년 학생 $2$명이 의자에 앉는 경우의 수는 위의 $3$가지 경우 모두 $2 ! \times 2 !$$= 4$ 로 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 $12 \times 3 \times 4$$= 144$ [다른 풀이] 먼저 $2$학년 학생 $4$명이 일렬로 앉은 후 $1$학년 학생 $2$명이 조건을 만족시키도록 앉는 경우를 생각하자. $2$학년 학생 $4$명이 일렬로 앉는 경우의 수는 $4 !$$= 4 \times 3 \times 2 \times 1$$= 24$ 이때 $2$학년 학생을 ②라 하자. ②∨ ②∨ ②∨ ② 위의 각각의 경우에 대하여 두 조건 (가), (나)를 만족시키려면 $1$학년 학생 $2$명은 ∨ 표시된 $3$곳 중에서 $2$곳을 택하여 앉아야 하므로 $1$학년 학생이 앉는 경우의 수는 ${} _{3} \mathrm{P} _{2}$$= 3 \times 2$$= 6$ 따라서 구하는 경우의 수는 $24 \times 6$$= 144$