대수수학적 귀납법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

이웃 수 차 삽입 배열

문제

아래 그림은 제11행에는 (11)\left( 1 1 \right)을 놓고 제22행부터는 바로 위 행의 이웃한 두 수 사이에 두 수의 차를 추가하여 수를 배열한 것이다. 즉, 제22행은 제11행의 (11)\left( 1 1 \right)사이에 11과 11의 차인 00을 추가한 것이고, 제33행은 제22행의 (101)\left( 1 0 1 \right)의 이웃한 두 수 11과 00 사이에는 11과 00의 차인 11을,00과 11사이에는 00 과 11의 차인 11을 추가하여 수를 배열한 것이다. 이와 같은 과정을 반복하여 수를 배열할 때 제1010행에 나타나는 11의 개수를 구하시오. [4점]

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해설

ⅰ) 각 행의 수의 개수로 된 수열은 2,3,5,9,17,⋯2 , 3 , 5 , 9 , 17 , \cdots이고 제 11 계차수열이 1,2,4,8,⋯1 , 2 , 4 , 8 , \cdots이므로 제1010행의 수의 개수는 2+∑k=192k−1=2+29−12−1=513\displaystyle 2 + \sum\limits _{{k} = 1} ^{9} 2 ^{k-1} = 2 + \frac{2 ^{9} - 1}{2 - 1} = 513(개) ⅱ) 제1010행(짝수 행)의 수의 나열은 (1,0,1),(1,0,1),(1,0,1),⋯ ,(1,0,1)( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , \cdots , ( 1 , 0 , 1 )이므로 ⅰ), ⅱ)에서 제1010행의 11의 개수는 ∴513×23=342\displaystyle \therefore 513 \times \frac{2}{3} = 342이다

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