이산확률변수 분산 최대

출제의도 : 확률질량함수의 성질과 이산확률변수의 평균, 분산의 관계를 이용하여 분산의 최댓값을 구할 수 있는가? $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{(} X ) = 0 \times a + 1 \times b + 2 \times \frac{b}{2} + 3 \times \frac{b}{3} + \cdots + k \times \frac{b}{k}$$= b k$ ${\mathrm{E}} \left( X ^{2} \right)$$\displaystyle = 0 ^{2} \times a + 1 ^{2} \times b + 2 ^{2} \times \frac{b}{2} + 3 ^{2} \times \frac{b}{3} + \cdots + k ^{2} \times \frac{b}{k}$ $= ( 1 + 2 + 3 + \cdots + k ) b$$\displaystyle = \frac{b k ( k + 1 )}{2}$ ${\mathrm{E}} \left( X ^{2} \right) = 2 {\mathrm{E}} ( X )$에서 $\displaystyle \frac{b k ( k + 1 )}{2} = 2 b k$ $b k > 0$이므로 $\displaystyle \frac{k + 1}{2} = 2$ $k = 3$ 이때, ${\mathrm{E}} ( X ) = 3 b$, ${\mathrm{E}} \left( X ^{2} \right) = 6 b$이므로 $\begin{aligned} \mathrm{V} ( X ) & \end{aligned}$$= \mathrm{E} \left( X ^{2} \right) - {E ( X )} ^{2}$ $= 6 b - ( 3 b ) ^{2}$ $= - 9 b ^{2} + 6 b$ $\displaystyle = - 9 \left( b - \frac{1}{3} \right) ^{2} + 1$ $b > 0$이므로 $\mathrm{V} ( X )$는 $\displaystyle b = \frac{1}{3}$일 때 최댓값 $1$을 갖는다. 한편 이산확률변수 $X$가 가질 수 있는 값에 대한 모든 확률의 합은 $1$ 이므로 $\displaystyle a + b + \frac{b}{2} + \frac{b}{3} = 1$에서 $\displaystyle a + \frac{11}{6} \times b = 1$ $\displaystyle a + \frac{11}{6} \times \frac{1}{3} = 1$ $\displaystyle a = \frac{7}{18}$ 따라서 $p = 18$, $q = 7$ 이므로 $p + q = 18 + 7 = 25$