입체도형의 부피

입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt{x + x \ln x}$인 정삼각형이다. 이때 단면의 넓이를 $S \left( x \right)$라 하면 $\displaystyle S \left( x \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \sqrt{x + x \ln x} \right) ^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( x + x \ln x \right)$ 따라서 구하는 입체도형의 부피를 $V$라 하면 $V$$\displaystyle = \int _{1} ^{2} {S \left( x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{1} ^{2} {\frac{\sqrt{3}}{4} \left( x + x \ln x \right) dx}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \int _{1} ^{2} {\left( x + x \ln x \right) dx}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \int _{1} ^{2} {x dx + \int _{1} ^{2} {} x \ln x dx} \right)$ $\displaystyle \int _{1} ^{2} {} x \ln x dx$에서 $u \left( x \right) = \ln x$, $v' \left( x \right) = x$로 놓으면 $\displaystyle u' \left( x \right) = \frac{1}{x}$, $\displaystyle v \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2}$ 이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{2} {} x \ln x dx$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} x ^{2} \ln x \right] _{1} ^{2} - \int _{1} ^{2} {\frac{1}{2} x ^{2} \cdot \frac{1}{x}} dx$ $\displaystyle = 2 \ln 2 - \int _{1} ^{2} {\frac{x}{2}} dx$ $\displaystyle = 2 \ln 2 - \left[ \frac{1}{4} x ^{2} \right] _{1} ^{2}$ $\displaystyle = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}$ $\displaystyle \int _{1} ^{2} {x dx = \left[ \frac{x ^{2}}{2} \right] _{1} ^{2}} = \frac{3}{2}$ 따라서 구하는 입체도형의 부피 $V$는 $V$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{3}{2} + 2 \ln 2 - \frac{3}{4} \right)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{3}{4} + 2 \ln 2 \right)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3} \left( 3 + 8 \ln 2 \right)}{16}$