입체도형의 부피

직선 $x = t \left( 1 \leq t \leq e \right)$를 포함하고 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle S \left( t \right) = \frac{t + 1}{t \left( t + \ln t \right)}$ 따라서 구하는 부피를 $V$라 하면 $\displaystyle V = \int _{1} ^{e} {S \left( t \right) dt} = \int _{1} ^{e} {\frac{t + 1}{t \left( t + \ln t \right)} dt}$ $t + \ln t = s$라 하면 $\displaystyle \frac{ds}{dt} = \frac{t + 1}{t}$이고 $t = 1$일 때 $s = 1$, $t = e$일 때 $s = e + 1$이므로 $\displaystyle V = \int _{1} ^{e + 1} {\frac{1}{s} ds} = \left[ \begin{array}{l} \ln \left| s \right| \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{1} ^{e + 1} = \ln \left( e + 1 \right)$