인수의 중복도로 정의된 k(a)와 사차함수

함수 $f \left( x \right)$와 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{f \left( x \right)}{\left( x - a \right) ^{k}} = L$ (단, $L \ne 0$) 인 실수 $L$이 존재하도록 하는 자연수 $k$의 값이 $k \left( a \right)$이다. 이때 $L$이 존재하면 $x \rightarrow 0$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{m} Q \left( x \right)$ 라 하면 $L \ne 0$이므로 $m = k \left( a \right)$ 따라서 $L$이 존재할 때 함수 $f \left( x \right)$는 $\left( x - a \right) ^{k}$을 인수로 갖는다. 조건 (가)에서 $k \left( - 1 \right) = 1$, $k \left( 2 \right) = 2$이므로 사차함수 $f \left( x \right)$를 $f \left( x \right) = p \left( x + 1 \right) \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - \alpha \right)$ $\left( p \ne 0 , \alpha \right.$는 상수$)$ 로 놓을 수 있다. 조건 (나)에서 $t < 0$인 모든 실수 $t$에 대해서 방정식 $f \left( x \right) = t$의 실근이 존재해야 하므로 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $0$이상이어야 한다. $\therefore$ $p < 0$ $f \left( 1 \right) = p \left( 1 + 1 \right) \left( 1 - 2 \right) ^{2} \left( 1 - \alpha \right) = - 6$ $p \left( 1 - \alpha \right) = - 3$ 조건 (가)에서 $f \left( 0 \right) < 0$이므로 $f \left( 0 \right) = p \left( 0 + 1 \right) \left( 0 - 2 \right) ^{2} \left( 0 - \alpha \right)$$= - 4 p \alpha < 0$ $p < 0$이므로 $\alpha < 0$ $p \left( 1 - \alpha \right) = - 3$에서 $\displaystyle \alpha = 1 + \frac{3}{p}$ $\alpha < 0$이므로 $\displaystyle 1 + \frac{3}{p} < 0$ $\therefore$ $p > - 3$ 이때 $p$는 음의 정수이므로 $p = - 2$ 또는 $p = - 1$ (ⅰ) $p = - 1$일 때 $\displaystyle \alpha = 1 + \frac{3}{- 1} = - 2$ $\therefore$ $f \left( 0 \right) = - 4 p \alpha = - 4 \times \left( - 1 \right) \times \left( - 2 \right) = - 8$ (ⅱ) $p = - 2$일 때 $\displaystyle \alpha = 1 + \frac{3}{- 2} = - \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle f \left( 0 \right) = - 4 p \alpha = - 4 \times \left( - 2 \right) \times \left( - \frac{1}{2} \right) = - 4$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 $f \left( 0 \right)$의 값의 합은 $- 8 + \left( - 4 \right) = - 12$