인공위성 공전주기

[출제의도] 실생활에서 일어나는 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\mathrm{A}$행성과 $\mathrm{B}$행성의 중력가속도를 각각 $G _{\mathrm{A}}$, $G _{\mathrm{B}}$, 질량을 각각 $M _{\mathrm{A}}$, $M _{\mathrm{B}}$라 하고, 각 행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전 반지름의 길이를 각각 $r _{\mathrm{A}}$, $r _{\mathrm{B}}$라 하자. $\mathrm{A}$행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전주기$T _{\mathrm{A}}$는 $\displaystyle T _{\mathrm{A}} = k \sqrt{\frac{r _{\mathrm{A}} ^{3}}{G _{\mathrm{A}} M _{\mathrm{A}}}}$ $\mathrm{B}$행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전주기 $T _{\mathrm{B}}$는 $\displaystyle T _{\mathrm{B}} = k \sqrt{\frac{r _{\mathrm{B}} ^{3}}{G _{\mathrm{B}} M _{\mathrm{B}}}}$ $\mathrm{A}$행성의 중력가속도는 $\mathrm{B}$행성의 중력가속도의 $3$배이므로 $G _{\mathrm{A}} = 3 G _{\mathrm{B}}$이다. 또 $\mathrm{A}$행성의 질량은 $\mathrm{B}$행성의 질량의 $10$배이므로 $M _{\mathrm{A}} = 10 M _{\mathrm{B}}$이고, $\mathrm{A}$행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전반지름의 길이가 $\mathrm{B}$행성 주위를 공전하는 인공위성의 공전반지름의 길이의 $1.5$배이므로 다음이 성립한다. $\displaystyle r _{\mathrm{A}} = \frac{3}{2} r _{\mathrm{B}}$ 그러므로 $\displaystyle T _{\mathrm{A}} = k \sqrt{\frac{\left( \frac{3}{2} r _{\mathrm{B}} \right) ^{3}}{( 3 G _{\mathrm{B}} ) ( 10 M _{\mathrm{B}} )}}$$\displaystyle = k \sqrt{\frac{\frac{27}{8} r _{\mathrm{B}} ^{3}}{30 G _{\mathrm{B}} M _{\mathrm{B}}}}$$\displaystyle = k \sqrt{\frac{27 r _{\mathrm{B}} ^{3}}{240 G _{\mathrm{B}} M _{\mathrm{B}}}}$ 따라서 $\displaystyle \frac{T _{\mathrm{A}}}{T _{\mathrm{B}}} = \frac{k \sqrt{\frac{27 r _{\mathrm{B}} ^{3}}{240 G _{\mathrm{B}} M _{\mathrm{B}}}}}{k \sqrt{\frac{r _{\mathrm{B}} ^{3}}{G _{\mathrm{B}} M _{\mathrm{B}}}}}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{27}{240}}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{9}{80}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{5}}{20}$