기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이면각 사면체 부피

문제

평면 α\alpha 위에 있는 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}와 평면 α\alpha 위에 있지 않은 점 P\mathrm{P}에 대하여 삼각형 PAB\mathrm{PAB}는 PB‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = 4, ∠PAB=π2\displaystyle \angle \mathrm{PAB} = \frac{\pi}{2}인 직각이등변삼각형이고, 평면 PAB\mathrm{PAB}와 평면 α\alpha가 이루는 각의 크기는 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}이다. 점 P\mathrm{P}에서 평면 α\alpha에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 할 때, 사면체 PHAB\mathrm{PHAB}의 부피는? [4점] ①66\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}②63\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}③62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}④263\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{3}⑤566\displaystyle \frac{5 \sqrt{6}}{6}

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④

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해설

직각이등변삼각형 PAB에서 PB‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = 4, AP‾=AB‾=22\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \overline{AB} = 2 \sqrt{2} 정사영의 길이에서 AH‾=PA‾cos⁡π6=6\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \overline{PA} \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{6} 삼수선의 정리에서 ∠HAB=π2\displaystyle \mathrm{\angle} HAB = \frac{\pi}{2}이므로 △ABH=12AB‾AH‾=23\displaystyle \mathrm{\triangle} ABH = \frac{1}{2} \overline{AB} \overline{AH} = 2 \sqrt{3} 그리고 PH‾=PA‾sin⁡π6=2\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \overline{PA} \sin \frac{\pi}{6} = \sqrt{2}이다. 따라서 사면체 PHAB의 부피는 V=13(△ABH)PH‾=\displaystyle V = \frac{\mathrm{1}}{3} ( \triangle ABH ) \overline{PH} =263\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{3}

태그

#이면각#삼수선의 정리#부피

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