이면각 사면체 부피

$\mathrm{A}$에서 $\mathrm{C}$를 지나고 직선 $l$에 수직이며 $\beta$에 포함되는 직선에 수선의 발을 내리고 그 수선의 발을 $\mathrm{A}'$이라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\mathrm{A}$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발이 $\mathrm{A}'$이 된다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2$이고 직선 $\mathrm{AB}$와 평면 $\beta$가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} ABA' = \frac{\pi}{6}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A}}' B = \sqrt{3}$$,$$\displaystyle \mathrm{\overline{AA}}' = 1$이다. 또한 $\alpha$와 $\beta$가 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이므로 이면각의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\angle} ACA' = \frac{\pi}{4}$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}}' = 1 , \overline{AC} = \sqrt{2}$임을 알 수 있다. 한편, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \sqrt{3}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{2}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 1$이다. 사면체 $\mathrm{ABCD}$의 부피는 $\displaystyle \frac{1}{3} \times ( \mathrm{BCD}$의 넓이$) \times \mathrm{AA}'$ $\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times \overline{CD} \times \overline{BD} \right) \times \overline{AA}'$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times 1 \times ( \sqrt{2 + 1} ) \right) \times 1$ $\displaystyle = \frac{1}{6} ( \sqrt{2} + 1 )$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{1}{6} , b = \frac{1}{6}$이므로 $36 ( a + b ) = 12$이다.