일대일함수 결정

[출제의도] 일대일함수를 이용하여 추론하기 $\left\{ f \left( x \right) + x ^{2} - 5 \right\} \times \left\{ f \left( x \right) + 4 x \right\} = 0$에서 $g \left( x \right) = - x ^{2} + 5$, $h \left( x \right) = - 4 x$라 하면 집합 $X$의 모든 원소 $x$에 대하여 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$ 또는 $f \left( x \right) = h \left( x \right)$이다. $g \left( x \right) = h \left( x \right)$에서 $x ^{2} - 4 x - 5 = 0$, $\left( x + 1 \right) \left( x - 5 \right) = 0$, $x = - 1$ $g \left( - 1 \right) = h \left( - 1 \right) = 4$이므로 $f \left( - 1 \right) = 4$ 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 $g \left( 1 \right) = g \left( - 1 \right)$ $f \left( 1 \right) = g \left( 1 \right) = 4$라 하면 함수 $f \left( x \right)$는 일대일함수가 아니다. 그러므로 $f \left( 1 \right) = h \left( 1 \right) = - 4$ $g \left( x \right) = - 4$에서 $x ^{2} = 9$, $x = - 3$ $f \left( - 3 \right) = g \left( - 3 \right) = - 4$라 하면 함수 $f \left( x \right)$는 일대일함수가 아니다. 그러므로 $f \left( - 3 \right) = h \left( - 3 \right) = 12$ $f \left( 0 \right) = h \left( 0 \right) = 0$이라 하면 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $f \left( 0 \right) = g \left( 0 \right) = 5$ $f \left( 0 \right) \times f \left( 1 \right) \times f \left( 2 \right) < 0$에서 $f \left( 2 \right) > 0$ $h \left( 2 \right) = - 8 < 0$이므로 $f \left( 2 \right) = g \left( 2 \right) = 1$ 이차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이므로 $g \left( - 2 \right) = g \left( 2 \right)$ $f \left( - 2 \right) = g \left( - 2 \right) = 1$이라 하면 함수 $f \left( x \right)$는 일대일함수가 아니다. 그러므로 $f \left( - 2 \right) = h \left( - 2 \right) = 8$ 따라서 $f \left( - 3 \right) + f \left( - 2 \right) + f \left( - 1 \right) + f \left( 0 \right) + f \left( 1 \right) + f \left( 2 \right)$ $= 12 + 8 + 4 + 5 + \left( - 4 \right) + 1 = 26$