확률과 통계순열과 조합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

일대일함수 개수

문제

집합 $X =$ $\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \}$ 에서 집합 $Y =$ $\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \}$ 로의 함수 중에서 다음 세 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는? [4점] (가) 집합 $X$ 의 임의의 두 원소 $x _{1} , x _{2}$ 에 대하여 $x _{1} \ne x _{2}$ 이면 $f ( x _{1} ) \ne f ( x _{2} )$ 이다. (나) 합성함수 $f \circ f$ 가 정의된다. (다) $( f \circ f ) ( 1 ) = 1$ 이다.

① $24$ ② $30$ ③ $36$ ④ $42$ ⑤ $48$

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⑤

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해설

함성 함수 $f \circ f$ 가 정의되기 위해서는 $f ( x )$ 의 함숫값으로 $6 , 7$ 은 선택될 수 없다. 그러므로 $( 1 )$ $f ( 1 ) = 1$ 이면 $f ( f ( 1 ) ) = f ( 1 ) = 1$ 이므로 나머지 $x$ 의 $2 , 3 , 4 , 5$ 의 원소가 일대일 대응하면 되므로 $4 ! = 24$ 가지 $( 2 )$ $f ( 1 ) = 2$ 이면 $f ( f ( 1 ) ) = f ( 2 ) = 1$ 로 서로 크로스로 연결되고 나머지 수가 일대일 대응하면 되므로 $3 ! = 6$ 가지이다. $( 3 )$ $f ( 1 ) = 3$ , $f ( 1 ) = 4$ , $f ( 1 ) = 5$ 일 때도 $( 2 )$ 와 마찬가지이므로 $( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 )$ 에 의하여 $24 + 4 \times 6 = 48$ 가지

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