일대일대응 조건

[출제의도] 일대일 대응의 뜻을 이용하여 함수의 최댓값을 구한다. $3$이상 $5$이하의 자연수 $n$에 대하여 $f ( n ) f ( n + 2 )$의 값이 짝수이므로 $f ( 3 ) \times f ( 5 )$, $f ( 4 ) \times f ( 6 )$, $f ( 5 ) \times f ( 7 )$은 모두 짝수이다. $f ( 4 )$ 또는 $f ( 6 )$은 적어도 하나가 짝수이고, 집합 $X$의 원소 중 짝수인 것은 $4$, $6$뿐이므로 $f ( 3 ) \times f ( 5 )$와 $f ( 5 ) \times f ( 7 )$이 모두 짝수이려면 $f ( 5 )$는 짝수가 되어야 한다. 따라서 $f \left( 3 \right)$, $f \left( 7 \right)$은 모두 홀수이므로 $f ( 3 ) + f ( 7 )$의 최댓값은 $f ( 3 ) = 5$, $f ( 7 ) = 7$ 또는 $f ( 3 ) = 7$, $f ( 7 ) = 5$일 때 $5 + 7 = 12$이다.