일대일대응 조건

[출제의도] 일대일 대응의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구한다. 함수 $f$가 $X$에서 $X$로의 일대일 대응이므로 $\left\{ f ( 1 ) \right.$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$, $f ( 4 )$, $f ( 5 ) \}$$= \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$ 조건 (가)의 $f ( 2 ) - f ( 3 )$$= f ( 4 ) - f ( 1 )$$= f ( 5 )$에서 $f ( 5 ) > 0$이므로 $f ( 2 ) > f ( 3 )$, $f ( 4 ) > f ( 1 )$이고 조건 (나)에서 $f ( 1 ) < f ( 2 ) < f ( 4 )$이므로 $f ( 3 ) < f ( 1 )$$< f ( 2 ) < f ( 4 )$이다. 따라서 $f ( 2 ) - f ( 3 ) \geq 2$이고, $f ( 2 ) < f ( 4 )$이므로 $f ( 2 ) \leq 4$이다. 따라서 $f ( 2 ) - f ( 3 ) \leq 3$ 그러므로 $f ( 5 ) = 2$ 또는 $f ( 5 ) = 3$ ⅰ) $f ( 5 )$$= 2$인 경우 $f ( 3 )$, $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 4 )$가 이 순서대로 증가하는 $4$개의 자연수이므로 $f ( 3 ) = 1$, $f ( 1 ) = 3$, $f ( 2 ) = 4$, $f ( 4 ) = 5$이다. 그런데 $f ( 5 ) = 2$, $f ( 2 ) - f ( 3 ) = 4 - 1 = 3$ 이므로 모순이다. ⅱ) $f ( 5 )$$= 3$인 경우 $f ( 5 )$$= f ( 2 ) - f ( 3 )$$= f ( 4 ) - f ( 1 )$$= 3$이고 $3$이 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$의 중앙값이므로 $f ( 3 ) < f ( 1 )$$< f ( 5 ) < f ( 2 )$$< f ( 4 )$ 즉, $f ( 1 )$$= 2$, $f ( 2 )$$= 4$, $f ( 3 )$$= 1$, $f ( 4 )$$= 5$, $f ( 5 )$$= 3$

따라서 $f ( 2 ) + f ( 5 )$$= 4 + 3$$= 7$