일대일대응 조건

[출제의도] 일대일 대응을 이용하여 조건을 만족시키는 함수를 구하는 문제를 해결한다. 조건 (다)에서 $a \in X$, $a \in Y$ 즉 $a \in X \cap Y$이고 역함수의 성질에 의하여 $\left( f \circ f ^{- 1} \right) \left( a \right) = a$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} f \left( a \right) = \left( f {\circ} f ^{- 1} \right) \left( a \right)$$= a$, 즉 $f \left( a \right) = 2 a$ 이때 $a$의 개수가 $2$이므로 $f \left( 2 \right) = 4$, $f \left( 4 \right) = 8$ 조건 (가)에서 함수 $f$는 일대일 대응이고 조건 (나)에서 $f \left( 1 \right) \ne 2$이므로 $f \left( 1 \right) = 6$, $f \left( 3 \right) = 2$ 따라서 $f ^{- 1} \left( 2 \right) = 3$이므로 $f \left( 2 \right) \times f ^{- 1} \left( 2 \right)$$= 4 \times 3 = 12$