공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

일대일대응

문제

집합 X={x∣x≥a}X = \left\{ x | x \geq a \right\}에서 집합 Y={y∣y≥b}Y = \left\{ y | y \geq b \right\}로의 함수 f(x)=x2−4x+3f ( x ) = x ^{2} - 4 x + 3이 일대일대응이 되도록 하는 두 실수 aa, bb에 대하여 a−ba - b의 최댓값은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 일대일대응을 이해하여 식의 최댓값을 구한다. f(x)=x2−4x+3=(x−2)2−1{f ( x ) = x ^{2} - 4 x + 3 = \left( x - 2 \right) ^{2} - 1}에서 이 함수가 일대일대응이 되기 위해서는 a≥2{a \geq 2}이어야 한다. a≥2{a \geq 2}일 때, 함수 f(x){f ( x )}의 치역은 {y∣y≥f(a)}{\left\{ y | y \geq f ( a ) \right\}}이고 치역이 집합 Y{Y}={y∣y≥b}{= \left\{ y | y \geq b \right\}}와 같아야 하므로 b=f(a){b = f ( a )}이다. a−b{a - b}=a−f(a){= a - f ( a )}=−a2+5a−3{= \mathit{-} a ^{2} + 5 a - 3}=−(a−52)2+134\displaystyle {= \mathit{-} \left( a - \frac{5}{2} \right) ^{2} + \frac{13}{4}} a≥2{a \geq 2}에서 a−b{a - b}의 최댓값은 a=52\displaystyle {a = \frac{5}{2}}일 때 134\displaystyle {\frac{13}{4}}이다. 따라서 p=4{p = 4}, q=13{q = 13}이므로 p+q=17{p + q = 17}

태그

#일대일대응#이차함수 최대

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