일대일 함수 조건

[출제의도] 일대일 대응과 합성함수를 이해하여 함수를 추측한다. 조건 (가)에 의하여 함수 $f$는 일대일 대응이다. 집합 $X$의 임의의 원소 $x$에 대하여 $1 \leq f \left( x \right) \leq 7$ 조건 (나)에서 $f \left( f \left( 3 \right) \right) = f \left( 3 \right) - 6$$\geq 1$ 즉 $f \left( 3 \right) \geq 7$이므로 $f \left( 3 \right) = 7$ $f \left( f \left( 3 \right) \right)$$= f \left( 7 \right)$$= 7 - 6$$= 1$ 따라서 $f \left( 3 \right) = 7$, $f \left( 7 \right) = 1$ …… ㉠ $f \left( 7 \right) = 1$이므로 $f \left( f \left( 2 \right) \right) = f \left( 2 \right) - 4$$\geq 2$ 즉 $f \left( 2 \right) \geq 6$이고 $f \left( 3 \right) = 7$이므로 $f \left( 2 \right) = 6$ $f \left( f \left( 2 \right) \right)$$= f \left( 6 \right)$$= 6 - 4$$= 2$ 따라서 $f \left( 2 \right) = 6$, $f \left( 6 \right) = 2$ …… ㉡ $f \left( 7 \right) = 1$, $f \left( 6 \right) = 2$이므로 $f \left( f \left( 1 \right) \right) = f \left( 1 \right) - 2$$\geq 3$ 즉 $f \left( 1 \right) \geq 5$이고 $f \left( 2 \right) = 6$, $f \left( 3 \right) = 7$이므로 $f \left( 1 \right) = 5$ $f \left( f \left( 1 \right) \right) = f \left( 5 \right) = 5 - 2 = 3$ 따라서 $f \left( 1 \right) = 5$, $f \left( 5 \right) = 3$ …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 $f \left( 4 \right) = 4$이다. 따라서 $f \left( 2 \right) + f \left( 3 \right) + f \left( 4 \right)$$= 6 + 7 + 4$$= 17$ [참고] 함수 $f$는 그림과 같다.