일대일 대응 보기

[출제의도] 합성함수와 일대일 대응의 뜻을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판별한다. ㄱ. 함수 $f$가 일대일 대응이므로 $f ( 1 ) \times f ( 2 ) = 6$에서 $f ( 1 )$과 $f ( 2 )$의 값은 각각 $2$와 $3$ 또는 $3$과 $2$이다. 따라서 $f \left( 3 \right) + f \left( 4 \right) + f \left( 5 \right)$의 값은 $10$이다. (참) ㄴ. $\left( f \circ f \right) \left( x \right) = x$일 때, $f ( a )$$=$$b$이면 $\left( f \circ f \right) \left( a \right) = f \left( f \left( a \right) \right) = a$ 이므로 $f \left( b \right) = a$이다. 따라서 $( f \circ f ) ( x )$$=$$x$를 만족하는 함수 $f$의 대응관계는 $f \left( a \right) = a$이거나 서로 다른 두 원소 $a$, $b$에 대하여 $f \left( a \right) = b$이면서 $f \left( b \right) = a$이어야만 한다. 집합 $X$의 원소가 다섯 개이므로 원소를 두 개씩 짝을 지어도 짝지어지지 않는 원소가 존재한다. 따라서 $( f \circ f ) ( x )$$=$$x$이면 $f \left( a \right) = a$인 집합 $X$의 원소 $a$가 존재한다. (참) ㄷ. (반례) $f ( 1 )$$=$$2$, $f ( 2 )$$=$$3$, $f ( 3 )$$=$$1$, $f ( 4 )$$=$$5$, $f ( 5 )$$=$$4$라 하면 $\left( f \circ f \circ f \right) ( 1 )$$= f \left( f \left( f \left( 1 \right) \right) \right)$$= f \left( f \left( 2 \right) \right)$$= f \left( 3 \right)$$= 1$ 에서 $\left( f \circ f \circ f \right) ( 1 ) = 1$이므로 집합 $X$의 어떤 원소 $x$에 대하여 $\left( f \circ f \circ f \right) ( x ) = x$이지만 $f \left( b \right) = b$인 집합 $X$의 원소 $b$는 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.