일차함수와 삼각형 넓이

[출제의도] 일차함수의 그래프의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다. 점 $\mathrm{C}$는 일차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$의 그래프가 $x$축과 만나는 점이므로 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$에 $y = 0$을 대입하면 $\displaystyle 0 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2} x = \mathit{-} \frac{1}{2}$ $x = \mathit{-} 1$ 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( - 1 , 0 \right)$ 한편 두 점 ${\mathrm{A}} \left( 2 , 6 \right)$, $\mathrm{B} \left( 8 , 0 \right)$을 지나는 일차함수의 그래프의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 - 6}{8 - 2} = \mathit{-} 1$ 이므로 일차함수의 식을 $y = \mathit{-} x + b$라 하자. 이 직선이 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( 2 , 6 \right)}$을 지나므로 $x = 2$, $y = 6$을 대입하면 $6 = \mathit{-} 2 + b$ $b = 8$ 따라서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$를 지나는 일차함수의 그래프를 나타내는 식은 $y = \mathit{-} x + 8$ 점 $\mathrm{D}$는 일차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$의 그래프와 일차함수 $y = \mathit{-} x + 8$의 그래프의 교점이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} = \mathit{-} x + 8$ $\displaystyle \frac{3}{2} x = \frac{15}{2}$ $3 x = 15$ $x = 5$ 이제 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$에 $x = 5$를 대입하면 $y$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 5 + \frac{1}{2}$$= 3$ 따라서 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $( 5 , 3 )$

삼각형 $\mathrm{CBD}$에서 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 8 - ( - 1 ) = 9$이고 그림과 같이 점 $\mathrm{D}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{DH} = 3}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{CBD}$의 넓이는 $\mathrm{\triangle} CBD$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 9 \times 3$$\displaystyle = \frac{27}{2}$