일차함수와 넓이 비

[출제의도] 삼각형의 넓이와 일차함수의 그래프의 성질을 이용하여 직선의 기울기를 구한다.

점 $\mathrm{A}$는 일차함수 $\displaystyle y = - \frac{4}{3} x + 4$의 그래프와 $x$축이 만나는 점이므로 $\displaystyle 0 = - \frac{4}{3} x + 4$ $x = 3$에서 $\mathrm{A} ( 3 , 0 )$ 점 $\mathrm{B}$는 일차함수 $\displaystyle y = - \frac{4}{3} x + 4$의 그래프와 $y$축이 만나는 점이므로 $\mathrm{B} ( 0 , 4 )$ $\displaystyle \triangle {\mathrm{O} AB} = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{O} A} \times \overline{\mathrm{O} B}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이를 $S _{1}$, 사각형 $\mathrm{COAD}$의 넓이를 $S _{2}$라 하면 $S _{1} : S _{2} = 1 : 2$이므로 $S _{2} = 2 S _{1}$ $S _{1} + S _{2} = 3 S _{1} = 6$에서 $S _{1} = 2$ 점 $\mathrm{C}$는 일차함수 $y = ax + 2$의 그래프와 $y$축이 만나는 점이므로 $\mathrm{C} ( 0 , 2 )$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2$ 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 2 \times k = 2$, $k = 2$ 점 $\mathrm{D}$는 직선 $\displaystyle y = - \frac{4}{3} x + 4$ 위의 점이므로 $x = 2$를 대입하면 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표는 $\displaystyle - \frac{4}{3} \times 2 + 4 = \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{D} \left( 2 , \frac{4}{3} \right)$ 또, 점 $\displaystyle \mathrm{D} \left( 2 , \frac{4}{3} \right)$는 직선 $y = ax + 2$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{4}{3} = 2 a + 2$에서 $\displaystyle 2 a = - \frac{2}{3}$ 따라서 $\displaystyle a = - \frac{1}{3}$ [다른 풀이] $\mathrm{A} ( 3 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 4 )$, $\mathrm{C} ( 0 , 2 )$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2$ $\triangle \mathrm{OAB}$$\displaystyle \mathit{=} \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA}}} \times {\overline{\mathrm{OB}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이를 $S _{1}$, 사각형 $\mathrm{COAD}$의 넓이를 $S _{2}$라 하면 $S _{1} : S _{2} = 1 : 2$에서 $S _{2} = 2 S _{1}$ $\triangle {\mathrm{A} BC} = S _{1} + S _{2} = 3 S _{1} = 6$ 따라서 $S _{1} = 2$ 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표를 $k$라 하면 $\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 2 \times k = 2$에서 $k = 2$ 점 $\mathrm{D}$는 직선 $\displaystyle y = - \frac{4}{3} x + 4$ 위의 점이므로 $x = 2$를 대입하면 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표는 $\displaystyle - \frac{4}{3} \times 2 + 4 = \frac{4}{3}$에서 $\displaystyle \mathrm{D} \left( 2 , \frac{4}{3} \right)$ 한편, $a$는 두 점 $\mathrm{C} ( 0 , 2 )$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( 2 , \frac{4}{3} \right)$를 지나는 직선의 기울기이므로 $\displaystyle a = \left( {\frac{4}{3} - 2} \right) \div \left( {2 - 0} \right) = - \frac{1}{3}$