일차변환 영역 포함

일차변환 $f ^{(n)}$을 나타내는 행렬은 $\displaystyle {\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}} ^{n} = {\begin{pmatrix} \sqrt{2} ^{n} & 0 \\ \sqrt{2} ^{n} & 0 \end{pmatrix}} = \sqrt{2} ^{n} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$ 이므로 $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \end{array} \right) = \sqrt{2} ^{n} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right)$ 에서 $\displaystyle x' = {\sqrt{2}} ^{n} x , y' = {\sqrt{2}} ^{n} y$ $\displaystyle \therefore x = \frac{1}{{\sqrt{2}} ^{n}} x' , y = \frac{1}{{\sqrt{2}} ^{n}} y'$을 영역$B$의 식에 대입하면 $\displaystyle \left| \frac{1}{{\sqrt{2}} ^{n}} x' \right| + \left| \frac{1}{{\sqrt{2}} ^{n}} y' \right| \leq 1 \leftrightarrow \left| x' \right| + \left| y' \right| \leq {\sqrt{2}} ^{n}$이므로 $\displaystyle \therefore B _{n} = \left\{ ( x , y ) | \left| x \right| + \left| y \right| \leq \sqrt{2} ^{n} \right\}$ : 마름모의 내부 또, $A = \left\{ ( x , y ) l \in e x ^{2} + y ^{2} \leq 8 \right\}$ : 원의 내부 (단, 경계포함) $A \subset B _{n}$이 되려면 아래그림에서

원의 중심에서 직선 $\displaystyle x + y - {\sqrt{2}} ^{n} = 0$까지의 거리가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$보다 크거나 같으면 된다. 그러므로 점에서 직선사이의 거리공식을 이용하면 $\displaystyle \frac{\left| - {\sqrt{2}} ^{n} \right|}{\sqrt{2}} \geq 2 \sqrt{2} \leftrightarrow {\sqrt{2}} ^{n} \geq 4 \leftrightarrow 2 ^{\frac{n}{2}} \geq 2 ^{2}$ $\displaystyle \therefore \frac{n}{2} \geq 2 \therefore n \geq 4$이므로 최솟값은 $4$